فعالیت کار در کلاس مثلثات ریاضی دهم - رابطه اساسی
با توجه به رابطه‌ی بالا، یعنی $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ جاهای خالی را پر کنید:
الف) $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \sin^2 \alpha = \underline{\hspace{1cm}} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt{\underline{\hspace{1cm}}}$$
ب) $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \Rightarrow \cos^2 \alpha = \underline{\hspace{1cm}} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\underline{\hspace{1cm}}}$$
پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس صفحه 43 ریاضی دهم - رابطه اساسی
سلام! این تمرین بر پایه‌ی **رابطه‌ی اساسی مثلثات** (رابطه‌ی فیثاغورسی) است. این رابطه به ما اجازه می‌دهد که با داشتن یکی از نسبت‌های $\sin \alpha$ یا $\cos \alpha$، دیگری را پیدا کنیم.
### **الف) پیدا کردن $\sin \alpha$ بر حسب $\cos \alpha$**
هدف ما این است که $\sin^2 \alpha$ را در یک طرف نگه داریم و بقیه را به طرف دیگر ببریم:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\sin^2 \alpha = \mathbf{1 - \cos^2 \alpha}$$
حالا از دو طرف جذر می‌گیریم. چون نمی‌دانیم $\alpha$ در کدام ربع است، باید علامت $\pm$ را بگذاریم:
$$\sin \alpha = \mathbf{\pm \sqrt{1 - \cos^2 \alpha}}$$
**جاهای خالی (الف):**
$$\sin^2 \alpha = \mathbf{1 - \cos^2 \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \pm \sqrt{\mathbf{1 - \cos^2 \alpha}}$$
---
### **ب) پیدا کردن $\cos \alpha$ بر حسب $\sin \alpha$**
به همین ترتیب، $\cos^2 \alpha$ را در یک طرف نگه می‌داریم:
$$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$
$$\cos^2 \alpha = \mathbf{1 - \sin^2 \alpha}$$
با جذر گرفتن از دو طرف، دوباره علامت $\pm$ را اعمال می‌کنیم:
$$\cos \alpha = \mathbf{\pm \sqrt{1 - \sin^2 \alpha}}$$
**جاهای خالی (ب):**
$$\cos^2 \alpha = \mathbf{1 - \sin^2 \alpha} \Rightarrow \cos \alpha = \pm \sqrt{\mathbf{1 - \sin^2 \alpha}}$$
**نکته مهم:** انتخاب علامت (مثبت یا منفی) در جذر، **بستگی به ربع قرارگیری زاویه‌ی $\alpha$** دارد.
